Ермилов М

Статья посвящена анализу одного из возможных подходов к определению оптимального распределения денежных средств совокупности покупателей, исходя из предположения, что непосредственный вид их индивидуальных функций полезности (ФП)

u(x) известен. Разумеется, что статистическая оценка ФП сама по себе представляет отдельную весьма нетривиальную задачу, но тем не менее она в принципе разрешима, и возникает естественный вопрос о том, как такая информация может быть использована при оптимизации распределении средств. 1. Сначала рассмотрим отдельно взятого потребителя. Предположив, что его поведение соответствует теории рационального потребителя, стремящегося достичь максимально возможного значения своей индивидуальной ФП, можно написать основные уравнения, соответствующие его экстремальной

где: х = (Xj,...,X_n)^T —вектор спроса,

П — число видов товара;

р = (Pj,...,p_n)^T — вектор соответствующих цен;

X — множитель Лагранжа;

q — денежные средства, которыми располагает потребитель.

В дальнейшем будет удобна диагональная матрица спроса:

С помощью этой матрицы нетрудно описать такую важную характеристику ФП, как ее вектор эластичности:

Непосредственно из первого уравнения системы (1) следует:

Заметим, что произведение в правой части равно

это так называемый вектор расходов, представляющий собой распределение денежных средств, затрачиваемых покупателем на приобретение каждого вида товара в своей «продуктовой корзине».

Таким образом, можно написать простое равенство, связывающее два вектора:

которое сформулируется как

Теорема 1:

Расходный вектор рационального потребителя всегда коллинеарен вектору эластичности своей ФП.

Любопытно, что это свойство выполняется при любых ценах и для любого вида дифференцируемой ФП. Поскольку эластичность ФП в значительной мере определяет предпочтения потребителя, представляет интерес вопрос об общем виде таких функций, векторы эластичности которых

постоянны: е = а = Const

Таким образом, единственный вид функций с постоянными векторами эластичности - это функции Кобба-Дугласа, для которых векторы эластичности g совпадают с их векторами степеней &.

Для этих функций нетрудно найти вектор спроса х. Подстановка в уравнение (3):

откуда непосредственно следует аналитическое выражение для вектора спроса:

Естественным обобщением функций Кобба - Дугласа являются функции с векторами эластичности, сохраняющими свою коллинеарность при изменении вектора цен:

гдеф(х) - некоторая функция, необходимые свойства которой требуется выяснить. Равенство (6) означает, что для любых пар различных индексов i Ф j выполняется:

откуда следует, что функция ф(х) должна удовлетворять дифференциальным уравнениям:

где обозначено

Общее решение уравнения (7) имеет вид:

где ф(-) — произвольная функция. . ;

Таким образом, доказана Теорема 2. Множество всех функций, имеющих векторы эластичности, сохраняющие свою коллинеарность при изменении цен, есть множество произвольных дифференцируемых функций одного аргумента, в качестве которого может быть взята любая функция Кобба-Дугласа.

Если равенство (6) умножить скаляр-но на единичный вектор, то мы получим скалярное уравнение q = (X • ф, которое в комбинации с уравнением (6) приводит к примечательному следствию:

Следствие. Если в некоторой области изменения цен вектор эластичности ФП потребителя сохраняет свою коллинеарность, то зависимость вектора спроса от цен

выражается формулой (5), полученной дл* ФП, равной функции Кобба-Дуг ласа, г 2. Рассмотрим некоторое сообщество, иначе говоря, кооператив потребителей. Вектор расходов кооператива равен сумме частных векторов его членов:

Если сделать упрощающее предположение, что свойства функции полезности Uj(Xj) потребителя зависят только от величины располагаемой им денежной суммы q., то, считая, что число членов кооператива N достаточно велико (по крайней мере несколько сотен), последнее равенство можно переписать следующим образом:

где f(q)—плотность распределения доходов населения;

Ot(q) — степень однородной функции, представляющей ФП потребителя.

Предыдущие два равенства позволяют заметить, что если частные векторы эластичности сохраняют свою коллинеарность, то таким же свойством изоколлинеарнос-ти обладает и общий кооперативный расходный вектор.

Если плотность распределения имеет достаточно сосредоточенный_характер в окрестности среднего дохода q , где

то суммарный расходный вектор с точностью порядка квадрата дисперсии описывается выражением:

где Q = Nq — общая сумма личных денег членов кооператива;

дисперсия личных доходов.

Таким образом, в статье, во первых, было введено математическое понятие вектора расходов потребителя, допускающее весьма наглядную экономическую интерпретацию. Установлено в Теореме 1, что вектор расходов коллинеарен (то есть параллелен) вектору эластичности функции полезности (ФП) своего потребителя. Это свойство позволило получить аналитическое выражение (5) для индивидуального вектора спроса. Показано в Теореме 2, что существует множество ФП, обобщающих функцию Кобба-Дугласа, известную в курсах математической экономики. Для этих обобщённых функций направление вектора эластичности не зависит от вектора цен; в работе показывается, что выражение (5) сохраняет силу также и для этих функций.

Понятие вектора расходов допускает естественное распространение на весь коллектив членов кооператива; показано, что если индивидуальные расходные векторы сохраняют свою коллинеарность, то аналогичным свойством обладает и кооперативный вектор спроса.

Приводится упрощённое выражение, дающее асимптотическую оценку кооперативного расходного вектора для случая относительно малого разброса личных доходов членов кооператива.

Следует подчеркнуть, что все полученные результаты опираются на свойства ФП потребителей, которые, в свою очередь, могут быть установлены только с помощью адекватных и достаточно мощных статистических методов получения оценок.

М.М. Ермилов, ст. преподаватель

кафедры высшей математики и ЕНД

Московского университета

потребительской кооперации,

А.Ю. Манохин, аспирант кафедры

высшей математики РГТЭУ